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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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4. Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
b) ∑n=1∞sen⁡2(n)2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{2^{n}}

Respuesta

Como sen⁡2(n)\operatorname{sen}^{2}(n) oscila entre 11 y −1-1, podemos plantear que:

sen⁡2(n)2n≤12n\frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{2^{n}} \leq \frac{1}{2^n}

Y la serie ∑n=1∞ 12n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}, que fijate que también la podemos escribir así

∑n=1∞(12)n\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n 

sabemos que converge, por ser una serie geométrica con ∣r∣<1|r| < 1. Entonces, por el criterio de comparación directa, podemos afirmar que nuestra serie también converge.
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