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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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4.
Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{2^{n}}\)
b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{2^{n}}\)
Respuesta
Como $\operatorname{sen}^{2}(n)$ oscila entre $1$ y $-1$, podemos plantear que:
Reportar problema
$\frac{\operatorname{sen}^{2}(n)}{2^{n}} \leq \frac{1}{2^n}$
Y la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$, que fijate que también la podemos escribir así
$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$
sabemos que converge, por ser una serie geométrica con $|r| < 1$. Entonces, por el criterio de comparación directa, podemos afirmar que nuestra serie también converge.